对数与对数函数
注：本文中"「」"代表一个整体
先来介绍一下对数的概念吧
一般的，如果aˣ=N(a＞0，a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数
记作x=logₐN
a叫做对数的底数，N叫做真数（一说真我想起了苍白王座⁽漫画⁾）
For example
由于1919810=114514ˣ
则x就是以114514为底1919810的对数
记作x=log₁₁₄₅₁₄1919810
通常，我们把以10为底的对数叫common logarithm---常用对数 Rt 这种对数的log₁₀N记作lgN
e=2.71828...(无理数)为底的对数在生活中很常用 所以，我们把以e为底的对数称为natural logarithm---自然对数 Rt 这种对数的logₑN记作lnN
根据以上的定义,我们可以得到指数与对数之间的关系---当a＞0，a≠1时，aˣ=N可以推知x=logₐN
注意：0与负数没有对数
根据人教版高中必修一的122页可知logₐ1=0(初中时我们学过的0次幂)和logₐa=1
练习一下Practice
1.指数式化对数式
5⁴=625
答案：4=log₅625
2.对数式化指数式
log(下角标1/2)16=-4
答案：「1/2」-4次方=16
3.已知对数式求x
log₆₄x=-2/3
答案：1/16
我们了解了对数与指数的关系
自然要研究运算了
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0
则
1.logₐ(MN)=logₐM+logₐN
2.logₐ「M/N」=logₐM-logₐN
3.logₐMⁿ=nlogₐM(n∈R)
对数换底公式及其推广公式
条件：a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0
公式：logₐb=「log「下角标c」b」/「log「下角标c」a」
证明：令logₐb=x
aˣ=b
同取以c为底的对数
「log「下角标c」b」=x「log「下角标c」a」
所以能推出x=「log「下角标c」b」/「log「下角标c」a」
x代入即可
接下来推广一下
1.logₐb=1/「log「下角标b」a」
2.「log「下角标为a的m次方」「b的n次方」」=「n/m」logₐb
3.logₐb乘以log「下角标为b」c=logₐc
练习一下Practice
若log₅x=1/「log₃5」
利用推广一
则log₅x=log₅3
可得x=3
我们学习了对数换底公式有啥应用呢？
先来复习下运算律和换底公式吧
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0
则
1.logₐ(MN)=logₐM+logₐN
2.logₐ「M/N」=logₐM-logₐN
3.logₐMⁿ=nlogₐM(n∈R)
条件：a＞0且a≠1，c＞0且c≠1，b＞0
公式：logₐb=「log「下角标c」b」/「log「下角标c」a」
接下来我们结合一下 做下题吧
1.化简log₂3乘以log₃4乘以log₄5
解析：原式=「lg3/lg2」乘以「lg4/lg3」乘以「lg5/lg4」=lg5/lg2=lg₂5
2.若log₃2=a，log₃7=b
求log₉28的值和log₂₇98的值
解析：1.前者可化为log₃28/log₃9=「log₃4+log₃7」/2=「2a+b」/2
2.后者可化为log₃98/log₃27=「log₃2+log₃49」/3=「a+2b」/3
作为热爱数学的我借用我们语文老师的一句话(doge)「思路上还是要回归课本」
这里要讲下后面很多知识点都会用到的对数恒等式
a的「logₐn」次方=n
证明：设logₐn=t
则a的t次方=n
所以a的t次方=a的「logₐn」次方=n
练习一下Practice
计算3的「以根号3为底的log(-a)²」次方的值
解析：原式=[根号3的「以根号3为底的log(-a)²」次方]²
=[(-a)²]²
=a⁴
对数式的拆分
(还得是运算律啊)
如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0
则
1.logₐ(MN)=logₐM+logₐN
2.logₐ「M/N」=logₐM-logₐN
3.logₐMⁿ=nlogₐM(n∈R)
那么怎么拆分呢？
基本分为三步
举个例子 logₐN 请看这个对数式
1.看N是否为合数
2.把N化为质数的积
3.结合运算律进行拆分
下面我们来做道题试试
log₃2=m，log₃5=n
log₃20如何用m，n表示呢？
解析：rt，结合上面三步进行分析
真数20为合数
则化积，20=2乘以2乘以5
所以原式化为log₃(2乘以2乘以5)=log₃2+log₃2+log₃5=2m+n
讲了拆分怎么能没有合并呢(滑稽)
那就来讲讲对数式的合并
还是利用运算律
将同底对数合并
下面结合一道题来看看
log₃4+「1/3」log₃8-log₃24=？
分析：中间的对数式可化为log₃2
结合运算律可知
原式等于log₃4+log₃2-log₃24
=log₃「3的-1次方」
=-1
基本的运算都讲完了 那么按照套路 我该讲讲混合运算了
其实吧，这个混合运算就是对前面所讲的知识的综合运用
直接上题(doge)
log₃(27乘以9²)+log₃5-log₃15-2的「log₂3」+log₂3乘以log₃2
解析：原式=log₃3³+log₃3⁴+log₃「1/3」乘以log₃2
=4
混合运算___综合运算
接下来我们学习对数运算与基本不等式
结合前面的运算性质和基本不等式(若x＞0，y＞0。则x+y≥2倍根号下xy。当且仅有x=y时，等号成立
做个题吧...
1.lgx＞0，lgy＞0，xy=10 求lgx乘以lgy最大值？
解析：lg(xy)=lgx+lgy=lg10=1
lgx乘以lgy≤(「lgx+lgy」/2)²=1/4
当且仅有x=y时，等号成立
所以为1/4
2.lgx＞0，lgy＞0，lgx乘以lgy=4，lg(xy)最小值？
解析：lg（xy）=lgx+lgy
lgx+lgy≥2倍根号下「lgx乘以lgy」=4
当且仅有x=y时，等号成立
所以为4
对数运算与韦达定理
相信和我一样用冀教版数学课本的初三同学应该对韦达定理的内容非常熟悉
为啥我这么说呢
(因为那些内容只是在一元二次方程的大章中一带*的小节提到过
设方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x₁，x₂
则x₁+x₂=-b/a
x₁乘以x₂=c/a
(人教版的兄弟们我不知道怎么讲的 抱歉啊)
接下来我们把韦达定理和对数运算律联系亿下
例子
已知lga，lgb为方程Ax²+Bx+C=0(A≠0)的两根
求ab和lg²「a/b」的值
解析：结合韦达定理和运算性质
lga+lgb=-B/A=lg(ab)
lga乘以lgb=C/A
ab=10-「B/A」
lg²「a/b」=(lga-lgb)²=(lga+lgb)²-4lga乘以lgb=「B²-4AC」/A²
接下来让我们来讲下用的字母表示未知对数吧
单参数型
Practice
设log₁₂2=t
则log₄18=?
解析：t=1/log₂12=1/「2+log₂3」
log₂3=「1/t」-2
log₄18=log₂18/log₂4=「1/t」-3/2
(化简过程略去⁽doge)
多参数型
Practice
设log₃2=a，log₃7=b
则log₂₁98=?
解析：原式=log₃98/log₃21=「log₃2+2log₃7」/「1+log₃7」
一一代入可得原式=「a+2b」/「1+b」
终于讲完对数了...
对数函数
根据指数与对数的关系，由y=aˣ(a＞0，且a≠1)可以得到x=logₐy(a＞0，且a≠1)
x也是y的函数，通常我们的x表示自变量，而y为函数
所以将xy对调可得y=logₐx(a＞0，且a≠1)
一般的，函数y=logₐx(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x为自变量，定义域为(0，+∞)
<b>练习一下Practice</b>
求y=log₃x²的定义域
解析：因为x²＞0，所以x≠0
所以定义域为｛x｜x≠0｝
喜闻乐见的又讲到了图像和性质
对数函数也能分为0＜a＜1和a＞1来探究
这两种对数函数的图像都过(1,0)
0＜a＜1时 为减函数
a＞1时 为增函数
且定义域都为(0，+∞)
值域都是R
利用换底公式可知
底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴成对称
利用这种性质 我们可以用一个图像画出另一个
反之亦然
扩：a越大，x轴上方部分图像越靠右
For example
在这节 出的题多为比较
试一下
log₂3.4和log₂8.5
解析：这俩可看做y=log₂x的函数值
且这个函数为增函数
前者的真数比后者小
所以log₂3.4＜log₂8.5
对数函数正负规律
在y=logₐx,0＜a＜1时
logₐx＞0可推0＜x＜1
logₐx＜0可推x＞1
在y=logₐx,a＞1时
logₐx＜0可推出0＜x＜1
logₐx＞0可推出x＞1
固定区间 求值域
a＞1时f(x)单调递升 f(m)≤f(x)≤f(n) 值域为[f(m),f(南n]
0＜a时f(x)单调递减下 f(m)≥f(x)≥f(n)
<a>练习一下Practice</a>
已知f(x)=log₂x
x∈[1/8,1/4]
求值域？
分析：先看区间
可知y最大为-2，最小为-3
出现范围-3≤f(x)≤-2
结合图像与单调性
可知值域为[-3，-2]
这种题思路就在四个点上
1.画图
2.单调性下手
3.求端点(例如max，min......)函数值
4.写答案(bushi)
对数函数的反函数
什么是反函数呢？
举个例子
y=log₂x(和最下面那个互为反函数)
x=2ʸ
y=2ˣ(与最上面那个互为反函数)
懂了吗？（）
做做题吧
1.y=log₂x(0＜x≤1)反函数
解析：y=2ˣ
你以为完了？（doge）
因为(0＜x≤1)
所以x≤0
所以正确答案为y=2ˣ(x≤0)
2.y=2ˣ(x≤0)的反函数？
解析：y=log₂x
因为(x≤0)
所以0＜x≤1
所以正确答案为y=log₂x(0＜x≤1)
注意：这俩题的因为所以中两个条件对应函数不同,别搞混了
对数不等式和利用对数函数单调性比大小解不等式
分为两种情况(默认都≠0,其实这区间也取不到0...
1.a＞1时
logₐf(x)＜logₐg(x)可推出f(x)＞0，g(x)＞f(x)
logₐf(x)＜b可推出f(x)＞b，f(x)＜aᵇ
2.0＜a＜1时
logₐf(x)＜logₐg(x)可推出g(x)＞0，f(x)＞g(x)
logₐf(x)＜b可推出f(x)＞aᵇ