不定积分
积分表及其使用方法另开一个写
d是微分运算
先来学习下概念(没概念和定义啥也不行是不是
定义①:如果在区域I上 「可导函数」F(x)的导函数为f(x)
也就是说 对于任何x∈I F'(x)=f(x)成立
则F(x)就是f(x)的一个原函数
原函数の存在の定理:连续函数一定有原函数
定义②:在①中 我们了解到了原函数 那②我们就该了解下不定积分啦
在上面的定义中的例子里 我们发现 "没有常数项" 那 加上常数项呢？ 就这样 不定积分出现了！
Example:f(x)带有「任意常数项」的原函数 <i>称为f(x)或者f(x)dx的不定积分</i>
咋表示捏？∫f(x)dx
解释下各部分含义:∫为积分号 f(x)被我们叫做积函数 f(x)dx被叫做「被积表达式」 x→积分变量
For example:F(x)+114514就是f(x)の不定积分
重:∫f(x)dx可表示f(x)的任意一个原函数
练习时间 Practice Time！
求∫「1/x」dx
解析:我们得分类讨论
那x分类下
当x＞0 ∫「1/x」dx=In x+A(A没要求捏)
当x＜0 ∫「1/x」dx=In (-x)+A
综合下 ∫「1/x」dx=In ｜x｜+A
<a>「微分运算与求不定积分之运算为互逆」</a>
Rt 我们弄明白了不定积分之定义
现在学学性质罢
1.分配律(bushi「∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx」(前提是f(x)和g(x)都存在原函数)
2.移动律(更bushi「∫kf(x)dx=k ∫f(x)dx」(前提是f(x)存在原函数 且k非零,是常数)
怎样检验积分正确呢？ 我们对结果求导即可 看其导数是否与被积函数相等 若成立 则正确
利用上面的方法 求不定积分太有限了...
所以 我们要用「换元积分法」
emm 提醒:下文提到复合函数 我没讲呢还 先看着吧...
这个换元积分法呢 一般分为两类
第一类:我个人把其记为「由繁入简」啥意思呢?变量从多变少!
第二类:类似上面的一类 我记为「由简入繁」同义 变量由少变多
引入概念_有理函数
大家都知道有理数
这有理函数 又是啥
有理函数
两个多项式的商 即为有理函数
分子的次数小于分母次数 猜猜叫啥？(类 比 分 数)
没错 它叫真分式（反之 假分式
回归原本 我们讲的是积分
有理函数的积分如何求呢？
下面是我个人总结的步骤
1.分解因数(分解后 请看看是否分解后的多个因式有公因式)
2.去分母
3.找到未知数(一般指在分母) 列方程求解
4.进行正常积分计算即可
现在 让我们把这个运算"逆"过来
也就是积分化为有理函数
但是 不是啥都能化
如果被积函数中有n次根号下的「ax+b」或者n次根号下的「（ax+b）/(cx+d)」这种根式的话 我们令其为一个变量(其实啥都可以)
这样的变化中 是有反函数的 那我们就可以看反函数是否为上面那个变量的有理函数 如果是 则原函数可以化为有理函数之积分
完成 撒花!