函数与极限
众所周知
微积分是数学概念
牛顿提出
包括高等数学中研究函数的微分和积分
1.函数 极限 与连续
多映射与函数
首先 我们来复习下集合
顺便 来扩展下上期集合没讲的东西
(1)笛卡尔乘积/直积
AxB={(x,y)｜x∈A,y∈B}
x取自A y取自B
所以xy有前后顺序，AB不满足交换律
(2)RxR={(x,y)｜x∈R，y∈R} 表示xoy平面所有点的集合 前面可以记作R²
然后 我来扩展下邻域
它是个特殊的区间
例如：以a为中心点任何开区间称为点a的邻域 记作U(a)
点a的δ邻域：设δ是个正数 则开区间(a-δ，a+δ)称为点a的δ邻域.a为这个邻域的中心.δ则为这个邻域的半径
去心邻域：点a的δ邻域去掉中心a.叫点a的去心δ邻域
开区间(a-δ，a)称为点a的左δ邻域
开区间(a，a+δ)称为点a的右δ邻域
那么这里列举一个x₀邻域
点x₀的δ邻域：以点x₀为中心,δ为半径的开区间
我们把它记作U(x₀,δ)/无要求时可简记为U(x₀)
去心邻域 左右邻域也是这样(类比x₀和a
Rt 学Arduino的兄弟们可能经常用的一个东西-映射
这个我个人理解原理差不太多
x每元→y有唯一像 称 f从集合到集合的映射
上面的记作f：x→y或者f：x→y=f(x),x∈X
这里y为像 f(x)为原像(或称为逆像
注释：1.X为映射f的定义域：D(f)=x
2.像的主体为值域 记作R(f)或f(x)
即R(f)=f(x)={y｜y=f(x)，x∈X}
3.三种情况
1> 满射 值域为Y
2> 单射 每个y∈R(f)都有唯一厚像 x∈X
3> --映射.既为满射也为单射
4.g：X→U₁,f：U₂→Y(U₁⊆U₂)
则f乘g：X→Y
则为g和f构成的复合映射或映射的乘积
5.逆映射(只有--映射有)
复习下函数
f：X→Y或者f：x→y=f(x),x∈X
X为f的定义域 记为Df或者D(f)
值域：Zf或者Z(f)
一元函数：X⊆R,Y⊆R时 f为一元函数 y=f(x)
二元函数：X⊆R²,Y⊆R时 f为二元函数 y=f(x₁,x₂)
n元函数：X⊆Rⁿ,Y⊆R时,f为n元函数 y=f(x₁,x₂,.....,「x下角标n」)
(n元函数经f作用后都变为一个确定实数)
隐函数：x²+y²-R²=0 y-x-eˣsiny
显函数：y=「1/2」ax²
绝对值函数
符号函数
取整函数
反函数 仅适用于--映射
x=f的-1次方(y)称为y=f(x)的反函数
(两者图像一样 xy互换后图像关于y=x对称)
三角不等式
即三角形中两边之和＞第三边
推论：1.两条相交线段ab和cd
必定ac+bd＜ab+cd
2.a,b∈R
有｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜
且仅当第一个等号有ab≤0,第二个等号有ab≥0时等号成立
3.向量三角不等式
对于任意两个向量a和b
其加强的不等式｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜也成立
4.复数三角不等式(复数知识请看滑少的新冲精-实数 或者互反的黑精)
若推论三将两向量换另外俩复数
定理仍然成立
引申/应用
请看广义托勒密定理,欧拉定理和欧拉不等式
接下来 开始本作品第二部分-<a>极限</a>
极限的概念分为很多 对于不同的情况 有着不同的讲解
1.数列的极限
1> 单调数列
分为单调增加/减少数列和单调不减/不增数列
2> 有界数列 <i>收敛数列必有界 无界数列必发散</i>
对数列{x下角标n},若彐M＞0,则Vn∈N* 均有｜x下角标n｜≤M
分为有下界 彐M,Vn∈M,x下角标n≥M
有上界 彐M,Vn,x下角标n∈M
3>无界数列 对数列{x下角标n},若VM＞0,总彐n∈N* 均有｜x下角标n｜＞M
3> (1)对{x下角标n},当n无限增大时 「x下角标n」的值无限接近于某一常数A 则称A为数列的极限,即{x下角标n}的极限存在/{x下角标n}收敛
(2)VE＞0,彐N＞0,当n＞N时,恒有｜「x下角标n」-A＜E成立 则称{x下角标n}的极限为A/{x下角标n}收敛于A
(3)若{x下角标n}不存在极限,则称{x下角标n}是发散的
(4)定义只可用于验证极限 不可计算极限(「Lim下x→∞」「x下角标n」=a和「x下角标n」≈a)
那 如何计算N呢？
1.可用验证极限的定义反解n 再取整
2.用给定的已知N来找
3.合理放缩 再进行反解n 再找N
海涅定理
又称归结原则
「lim下x→a」f(x)=b 存在的必要原则为取f(x)的定义域内的任意数列{a下角标n},然后「lim下n→∞」「a下角标n」=a,且满足a下角标n≠a.则有「lim下n→∞」「a下角标n」=b
它表明了函数极限和数列极限直接的关系