指数与指数函数

指数与指数函数

注:本文中"「」"指其中的为一个整体

指数函数 听上去有点奇怪？也许吧...

在生活中 它有这广泛的用途 比如人口增长 细胞分裂等等 都会用到指数函数来构建数学模型

我们先来学一下指数

如果x²=a x就是a的平方根 For example 4的平方根就是2？

等下 有些不对 2的平方是4 这没错.但是4的平方根是±2

如果x³=a 那么x就是a的立方根 For example 2是8的立方根(注意 这没负号(话说初二的就应该懂这里了吧

类似的(±2)⁴=16

so，±2就叫做16的4次方根

一般的 x的n次方=a 那么x叫做a的n次方根 其中 n＞1 n∈N*

n为奇数时 正数的n次方根为正数 负数的n次方根为负数 n为偶数 正数的n次方根有两个 一正一负 且互为相反数 此时负数无n次方根

负数没有偶次方根 0的任何次方根都为0<

可以得到n为奇数时 n次根号下a的n次方=a n为偶数时 n次根号下a的n次方=|a|

练习一下吧Practice

1.求3次根号下「(-8)的三次方」的值 -8

2.求4次根号下「(5-π)的四次方」的值 5-π

根据以上练习我们可以得到其根式的被开方数的指数能被根指数整除时 根式可以表示为分数指数幂的形式

如根号下n 可以表示为n的½次方

so 人民教育出版社的人们规定a的m/n=n次根号下「a的m次方」 (a＞0，m,n∈N*，n＞1)

负整数指数幂意义与上面相同 a的-m/n=1/「a的m/n次方」=1/n次根号下的「a的m次方」

然后 我们又讲到了0----0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

练习一下Practice

1.「128的2/7次方」 4

2.(a＞0) a²乘以7次根号下的「a的平方」 a的16/7次方

3.(m的1/2次方乘以n的-7/8次方)⁸ m⁴/n⁷

现在我讲的都是有理数指数幂 那么 有没有无理数指数幂呢？当然 有了！

一般的 a的a次方(a＞0，a为无理数)是一个确定的实数

可以拿这个无理数的不足近似值和过剩近似值来证明 在此不过多赘述

当然 整数指数幂的运算规律同样适用于实数指数幂

到此为止 我们已经学完了指数

在此讨论中 我还会延伸到指数函数(对数和对数函数会在下一讨论讲述)

指数函数

这里举一个人教版必修一的例子

一个景区 2001年 278万人

2002年 309万人 增加了31万人

2003年 344万人 增加了35万人

2004年 383万人 增加了39万人

2005年 427万人 增加了44万人

......

2015年 1244万人 增长了126万人

我们深入探究会发现这个地方游客的年增长率都约为0.11 这样的 增长率为常数的变化方式 这就是指数增长

设x年后 游客人数为2001年的1.11的x次方倍

则y=1.11ˣ(x∈[0,+∞))

这是一个函数 指数x为自变量

假如用a代替 我们就能得到y=aˣ(a＞0且a≠1 a是常量)

这就叫做指数函数 指数x为自变量 R为定义域做个题吧

1.已知指数函数f(x)=aˣ(a＞0，a≠1)

且f(7)=π

求f(114154)

解析时间

我出的题怎么这么臭啊QAQ

把给的俩条件一合

a⁷=π

a=π的1/7次方

所以f(x)=π的x/7次方

将x=114514代入即可

如你所见 就仅仅一道

然后就是喜闻乐见的"指数函数的图像和性质"环节

从初中一次函数到现在高中的指数函数都有这一环节 可见非常的重要(doge)(我上数学课从来不听)

1.底数互为倒数的两个指数图像关于y轴对称

For example

y=2ˣ和y=(1/2)ˣ

这样我们就可以拿一个函数图像画另外一个函数图像了(如果我在家从来不手绘,我都是用Geogebra的（bushi)

Rt 我们按a取值范围画的话 可以分为0＜a＜1和1＜a(a不能等于一 前面说过 而且等于1的话就变成y=1啦)

这俩的定义域和值域都相同

且都过定点(0,1)

当0＜a＜1时 为减函数

1＜a时 为增函数

那值域怎么求呢？

举个例子For example

1.y=aˣ+b(x∈R,a＞0 a≠1)

值域为？

解析 y＝aˣ（x∈R） 值域为(0，+∞)

即aˣ＞0

所以aˣ+b＞b

所以值域为(b，+∞)

2.y=aˣ x∈I(区间) a＞1

求值域

解析 分为三种情况

(1)

y＝aˣ，x∈[m,n]

因为a＞1

所以y＝aˣ在[m，n]上递增

所以y最大=f(n)=a的n次方

y最小=f(m)=a的m次方

值域为[a的m次方，a的n次方]

(2)

y=aˣ，x∈[n，+∞)

因为a＞1

所以y=aˣ在[n，+∞)上递增

所以y最小=f(n)=a的n次方

无最大值

值域为[a的n次方，+∞)

(3)

y=aˣ，x∈(-∞，m]

因为a＞1

所以y=aˣ在(-∞，m]上递增

所以y最大值=f(m)=a的m次方

无最小值

值域为(0,a的m次方]

关键

解这种题关键就在

单调性和图像

从这俩下手即可

4.10 4点半 开始更新

已知指数函数单调性求底数范围

先来回顾亿下f(x)=aˣ的单调性吧

0＜a＜1 单调递减

1＜a 单调递增

For example

f(x)=(2a-3)ˣ为增函数

求a取值范围？

2a-3＞1

a＞2

那 它 变 为 减 函 数 呢 ？

同理 0＜2a-3＜1

3/2＜a＜2

关键

这种题还是要回归根本的单调性 代入就行啦

运用指数函数单调性比大小_参数

y=aˣ a＞0 且a≠1

单调递增可推出 x₁＞x₂ a的x₁次方＞a的x₂次方 可互推

单调递减可推出x₁＞x₂ a的x₁次方＜a的x₂次方 可互推

For example

已知a＞1＞b＞0 下列正确的是？多选哦

A.a的a次方＞a的b次方 解 y=aˣ在R上递增 a＞b 正确

B.a的-a次方＞a的-b次方 解 y=aˣ在R上递增 -a＜-b 错误

C.b的a次方＞b的b次方 解 y=bˣ在R上递减 a＞b 错误

D.b的1/a次方＞b的1/b次方 解 y=bˣ在R上递减 1/a＜1/b 正确

还是那句话 回归原本

有了参数 必要有数值啦

还是y=aˣ

a＞1 单调递增 x₁＞x₂ a的x₁次方＞a的x₂次方 可互推

x₁＞0 可推 a的x₁次方＞1

x₁＜0 可推 0＜a的x₁次方＜1

0＜a＜1 单调递减 x₁＞x₂ a的x₁次方＜a的x₂次方 可互推

x₁＜0 可推 a的x₁次方＞1

x₁＞0 可推 0＜a的x₁次方＜1

For example

已知a=(4/3)的1/4次方.b=(3/5)的4次方.c=(5/3)的-3次方

求abc大小关系

解析 我们先得分别比较一下abc与1的大小

再比较abc

可得a＞1

b＜1

c＜1

再然后 我们分别比较bc

可得b＜c

则a＞c＞b

总结

比较多个幂之间大小关系

先分别比较它们和1的大小关系

再化为同底

利用指数函数单调性比大小

根据指数函数单调性解不等式

指数函数f(x)=aˣ

0＜a＜1 单调递减 a的m次方＜a的n次方 m＞n 需改变方向

1＜a 单调递增 a的m次方＜a的n次方 m＜n 无需改变方向

For example

1.2的2x-1次方＞2的x+1次方

底数一样 且2＞1

所以原不等式可转化为2x-1＞x+1

x＞2

2.(1/2)的2x-1次方＞(1/2)的x+1次方

底数一样且1/2小于1,大于0

则2x-1＜x+1

x＜2

3.2的2x-1次方＞1/8

底数不一样

1/8=2的-3次方

不等式可转化为2的2x-1次方＞2的-3次方

2大于1

不等式可转化为2x-1＞-3

x＞-1

总结

底数一样不用化

底数不一化同底

看底数 需不需改变方向

（自己写的一点也不押韵的“诗词？”？？？

图像翻折

-----x轴篇

先来引入下

已知f(x)=1/2(x²-3x-4)

描点画出y=f(x)和y=|f(x)|的图像

自己GeoGebra画吧...抱歉 转成字符画 物实会自动删开头空格的 看不懂了就

后者就是前者负x轴翻折一下

我们对y=|f(x)|进行分类讨论一下

可知x轴上方图像不变，x轴下方图像翻折到x轴上方

-----y轴篇

已知f(x)=1/2(x²-3x-4)

描点画出y=f(x)和y=f(|x|)的图像

注意 这个可和上面不一样哦

y=f(|x|)的右侧不变

左侧关于y轴与右侧成对称

我们对y=f(|x|)进行分类讨论一下

y=f(|x|)的右侧图像保持不动，将y轴右方图像翻折到y轴左方

(显然y=f(|x|)是偶函数

如何根据象限求参数范围

指数函数f(x)=aˣ

0＜a＜1 单调递减

1＜a 单调递增

那 假如加上个b呢

y=aˣ+b(a＞0，a≠1

分为四种情况 且还下分

第一种 b＞0 向上平移b个单位长度

第二种 -1＜b＜0 向下

_下分1 a＞1 过123

_下分2 0＜a＜1 过124

第三种 b=-1 向下1个单位长度 且过原点

第四种 b＜-1 向下

_下分1 a＞1 过134

_下分2 0＜a＜1 过234

For example

y=aˣ+b 不过第一象限

对照上面可知 0＜a＜1，b≤-1

学累了嘛 来看看教科书级扩展吧（doge）

放射性物质衰减

碳14 锶90 碘131......

这些物质都有何共同点？

没错，它们都是放射性物质

放射性物质是指那些能够自然地向外辐射能量，发出射线的物质

一个给定的单位时间内

它会按照衰减率衰减

一般是用某放射性物质衰减一半的时间来描述情况

这个时间被称作半衰期 Half Life(Valve天下第一 Gabe nb！

Rt 那两个半衰期连一块是不是就是全衰期了？当然...不是！

连续两个半衰期后 这东西会变为原来质量的¼

一般的，如果某物质半衰期期为h 那经过t后 所剩质量为初始质量乘以「(1/2)的t/h次方」

------------ 指 数 衰 减

根据奇偶性求参数值

复习下奇偶性函数定义先

奇函数 f(-x)=-f(x)

偶函数 f(x)=f(-x)

解这类题可以从两方面下手

1.定义 奇偶函数定义

2.代入特殊值 必要性

奇函数:f(0)=0,f(1)+f(-1)=0

偶函数:f(1)=f(-1)

For example

1.f(x)=2ˣ+a/2ˣ+1 是奇函数 a？

f(0)=0 可推出2⁰+a=0，a=-1

2.g(x)=2的x²次方+bx+1 是偶函数 b？

f(1)=f(-1)可推出1+1+b=1+1-b，b=0