# 泛函分析
## 研究对象
数学研究 主要分为
1.函数→映射 一个空间X到一个空间Y的映射
2.算子 《关于线性算子的基本理论》(实际也是一种映射) 像微分积分这种具有可加性的 都是线性运算(算子)
(都是一种映射)
## 有限维空间的坐标分解及算子分解
### 1.三维实空间R³中的向量分解
1> 建立正交坐标系
$$\vec {i}=(1,0,0),\vec {j}=(0,1,0),\vec {k}=(0,0,1)$$
2>建立空间结构
$$a\cdot \vec {b}=(\vec {a},\vec {b})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$$
$$\vec {a}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\vec {b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$$
$$\vec {a}\cdot\vec {b}=|\vec {a}||\vec {b}|\cdot cos\theta$$
定义出了角度的概念
对于空间中任意一个向量a∈R³,用三个数字表示为
$$\vec {a}=(a_1,a_2,a_3)$$
$$a_1=(\vec {a},\vec {i}),a_2=(\vec {a},\vec {j}),a_3=(\vec {a},\vec {k})$$
现在的内积,更表示为一种投影
#### 投影
**向量投影**需要一个向量、一条直线和一束光来完成。假设有一条直线l上有向量a和b,起点相同,夹角theta,一道平面内垂直于l射下来,在a上留下阴影,这就是b在a的投影,记作p
$$显然p=\frac{a\cdot b}{|a|}$$
**矩阵投影**需要向量的集合-矩阵的列空间投影到另一个空间
$$\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$$
中去
将p写成线性组合
$$p=\hat{x_1}a_1+\hat{x_2}a_2+\cdots+\hat{x_n}a_n=A\hat{x}$$
新的问题出现了,即
$$找到新的p=Pb和\hat{x}$$
利用e=b-p,可知
$$e\perp p$$
故
$$A^T(b-A\hat{x})=0$$
此时
$$e=b-A\hat{x}与\{a_1,a_2,\cdots,a_n\} 中的每一个向量垂直$$
故
$$A^TA\hat{x}=A^Tb$$
$$\hat{x}=(A^TA)^{-1}A^Tb,p=A\hat{x}=A(A^TA)^{-1}A^Tb,知P=A(A^TA)^{-1}A^T$$