积分变换

Fourier变换

-求出函数的Fourier变换及Fourier变换的应用

P1.Fourier积分

(1)Fourier级数展开式

设\(f_T(t)\)以T为周期且在 \(-\frac{T}{2}\),\(\frac{T}{2}\) 上满足Dirichlet条件(狄利克雷条件:信号存在傅里叶变换的充分不必要条件,一周期内绝对可积,连续或只有有限个第一类间断点,有限个极值)

则\(f_T(t)\)在 \(-\frac{T}{2}\),\(\frac{T}{2}\) 上可以展成Fourier级数

在\(f_T(t)\)的连续点处

$$
f_T(t)=\frac{a0}{2}+\sum{n=1}^{∞}(a_ncos\ nωt+bnsin\ nωt)=\sum{n=-∞}^{+∞}c_ne^{jωn^t}
$$

我们可以根据三角函数及级数及自然常数对其定义

$$
ω=\frac{2\pi}{T},w_n=nω,cn=\frac{1}{T}\int{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)\ e^{-jnωt}dt(n=0,\pm1,...),c_0=\frac{a_0}{2},c_n=\frac{a_0-jbn}{2},c{-n}=\frac{a_n+jb_n}{2}(n=1,2,...)
$$

在\(f_T(t)\)的间断点t处,其上面的展开式左侧的\(f_T(t)\)应该以\(\frac{1}{2}[f_T(t+0)+f_T(t-0)]\)代替下来

(2)Fourier积分定理

对于\((+∞,-∞)\)上任何的非周期函数\(f(t)\)均可看作某个周期函数\(f_T(t)\)当\(T\to+\infty\)时转换的

根据这些,我们可以得到一个关于非周期函数的Fourier积分公式

当然,有前提条件

1.\(f(t)\)在任意区间满足狄利克雷条件

2.\(f(t)\)在无限区间上绝对可积

当这些条件满足时

在\(f(t)\)的连续点处有这样的Fourier积分公式
$$
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{+\infty}\int{-\infty}^{+\infty}f(\pi)e^{-jωT}d\pi e^{jωt}dω
$$
而在其间断点t处,将上文公式的"\(f(t)\)"用"\(\frac{1}{2}[f(t+0)+f(t-0)]\)"代替下来即可

(3)Fourier积分公式的其它形式

用上欧拉公式(Euler's Formula(采样方式(bushi))),欸嘿,三角形式就出来了
$$
f(t)=\frac{1}{\pi}\int{0}^{+\infty}\int{-\infty}^{+\infty}f(\pi)cos\ ω(t-\pi)d\pi dω
$$

那当其为奇函数之时,我们利用三角函数的喝茶(bushi)和差公式来推是可以推正弦积分公式的

$$
f(t)=\frac{2}{\pi}\int{0}^{+\infty}\int{0}^{+\infty}f(\pi)sin\ ω\pi d\pi \sin\ ω\pi dω
$$
如果其为偶函数时,也是用和差公式可知
$$
f(t)=\frac{2}{\pi}\int{0}^{+\infty}\int{0}^{+\infty}f(\pi)cos\ ω\pi d\pi \cos\ ω\pi dω
$$
我们管这个叫余弦积分公式

欸 假如\(f(t)\)仅仅在\((0,+\infty)\)这个区间上存在定义 咋办捏

看它满不满足Fourier收敛定理咯

用延拓法,得到\(f(t)\)的Fourier的正弦/余弦积分公式形式

P2.Fourier变换

(1)概念

一般形式:
$$
F[f(t)]=F(ω)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jωt}dt
$$

$$
f(t)=F^{-1}[F(ω)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(ω)e^{jω}dω
$$

正弦变换:(奇)
$$

F_s[f(t)]=Fs(ω)=\int{0}^{+\infty}f(t)sin\ ωtdt
$$

$$
f(t)=Fs^{-1}[f(ω)]=\frac{2}{\pi}\int{0}^{+\infty}F_s(ω)sin\ ωtdω
$$

余弦变换:(偶)
$$
F_c[f(t)]=Fc(ω)=\int{0}^{+\infty}f(t)cos\ ωtdt
$$

$$
f(t)=F_c^{-1}[Fc(ω)]=\frac{2}{\pi}\int{0}^{+\infty}F_c(ω)cos\ ωtdω
$$

(2)单位脉冲函数及Fourier变换

筛选性:若$f(t)$为无穷次可微的函数,则
$$
f(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}δ(t)f(t)dt,f(t0)=\int{-\infty}^{+\infty}δ(t-t_0)f(t)dt
$$