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卡方分布（Chi-squared distribution）是一类常用的概率分布，它具有广泛的应用，尤其是在统计学、金融学和工程学等领域。
- 定义
卡方分布是由自由度为 k 的卡方随机变量（Chi-squared random variable）所组成的概率分布，其中 k 是一个正整数。记 X ~ $\chi^2$(k)，则其对应的概率密度函数为：
$$
f(x)=\frac{1}{2^{k / 2} \Gamma(k / 2)} x^{k / 2-1} e^{-x / 2}
$$
其中 $\Gamma$ 为伽玛函数。
性质
- 均值和方差
$E(X) = k$
$Var(X) = 2k$
- 分布图像
当 k=1 时，卡方分布类似于正态分布。随着 k 的增加，卡方分布变得越来越偏左。
- 卡方检验
卡方分布在统计学中最常用的应用就是卡方检验（Chi-squared test）。它是一种常用的假设检验方法，用于检验样本数据是否符合预期分布。常用于检验分类变量与样本数据之间的关系。
例如，假设我们有一组观察数据，其中包含 10 个男性和 20 个女性。我们假设性别与观察数据之间没有关系，即男女比例应该是 1:2。我们可以使用卡方检验来检验这一假设是否成立。我们建立一个预期频数表，其中第一列表示男性，第二列表示女性，第三列表示总数
$$
\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline & \text { 男性 } & \text { 女性 } & \text { 总数 } \
\hline \text { 预期频数 } & 15 & 30 & 45 \
\hline
\end{array}
$$
然后计算观察频数与预期频数之间的差值，并对其进行平方，再除以预期频数。
$$
\chi^2=\frac{(10-15)^2}{15}+\frac{(20-30)^2}{30}=2
$$
最后，我们比较计算出的 $\chi^2$ 与卡方分布的 P 值。如果 P 值小于给定的显著性水平（通常为 0.05 或 0.01），则拒绝原假设，即说明性别与观察数据之间存在关系。
应用
卡方分布在统计学、金融学和工程学等领域有着广泛的应用。在统计学中，它主要用于假设检验和拟合估计；在金融学中，它用于风险分析和投资组合优化；在工程学中，它用于故障诊断和性能评估等。
总之，卡方分布是一类重要的概率分布，具有广泛的应用前景。理解其定义、性质和应用将有助于更好地处理统计学、金融学和工程学等领域的问题。
总结
卡方分布是一类重要的概率分布，它具有广泛的应用，特别是在统计学、金融学和工程学等领域。卡方分布是由自由度为 k 的卡方随机变量所组成的概率分布，其中 k 是一个正整数。卡方分布具有显著的性质，如均值和方差，分布图像等。最常用的应用就是卡方检验。理解其定义、性质和应用将有助于更好地处理统计学、金融学和工程学等领域的问题。